kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$|\boldsymbol{B}| \neq 0, \boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维非零列向量，则＂ $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的特征向量＂是＂ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
的特征向量＂的 ）． （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：若$\boldsymbol{\alpha}$是$\boldsymbol{AB}$的特征向量，即$\boldsymbol{AB}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，左乘$\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})=\lambda(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})$，故$\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}$是$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$的特征向量。 步骤2：反之，若$\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}$是$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$的特征向量，即$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})=\mu(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})$，左乘$\boldsymbol{B}^{-1}$得$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}=\mu\boldsymbol{\alpha}$，故$\boldsymbol{\alpha}$是$\boldsymbol{AB}$的特征向量。 步骤3：因此互为充要条件。 **难度**：★★☆☆☆