kaoyan1basic 线性代数 第9题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\left[\begin{array}{l}x_{n} \\ y_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{array}\right]$ 。 （1）当 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=1 \\ y_{0}=2\end{array}\right.$ 时，求 $x_{100}, y_{100}$ ； （2）当 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=1, \\ y_{0}=1\end{array}\right.$ 时，求 $x_{100}$ ．

## 第8章 相似理论

💡 答案解析

**答案**： （1）$\displaystyle x_{100}= \frac{1}{2}(5^{100}+3\cdot(-1)^{100})$，$\displaystyle y_{100}= \frac{1}{2}(5^{100}-(-1)^{100})$； （2）$\displaystyle x_{100}= \frac{1}{2}(5^{100}+(-1)^{100})$ **解析**： （1）步骤1：矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}$，特征值$\lambda_1=5,\lambda_2=-1$，对应特征向量$\boldsymbol{\xi}_1=(1,2)^\mathrm{T},\boldsymbol{\xi}_2=(1,-1)^\mathrm{T}$。 步骤2：初始向量$\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}= \boldsymbol{\xi}_1$，故$\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}=5^n\boldsymbol{\xi}_1$，所以$x_{100}=5^{100},y_{100}=2\cdot5^{100}$。 （2）步骤1：初始向量$\displaystyle \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}= \frac{1}{2}\boldsymbol{\xi}_1+\frac{1}{2}\boldsymbol{\xi}_2$，故$\displaystyle \begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}= \frac{1}{2}(5^n\boldsymbol{\xi}_1+(-1)^n\boldsymbol{\xi}_2)$。 步骤2：$\displaystyle x_{100}= \frac{1}{2}(5^{100}+(-1)^{100})$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求矩阵的特征值和特征向量
设矩阵A = [[1,2],[4,3]]，解特征方程|A-λE|=0，得特征值λ1=5，λ2=-1。对应特征向量：对于λ1=5，解(A-5E)ξ=0得ξ1=(1,2)^T；对于λ2=-1，解(A+E)ξ=0得ξ2=(1,-1)^T。
公式：|A-λE|=0
提示：特征方程求解时注意行列式计算，特征向量可取非零解。
步骤 2/4
目标：将初始向量表示为特征向量的线性组合
对于(1)，初始向量(1,2)^T恰好等于ξ1，故系数为1和0。对于(2)，初始向量(1,1)^T，设(1,1)^T = aξ1 + bξ2，解方程组得a=1/2，b=1/2。
公式：v0 = aξ1 + bξ2
提示：解线性方程组时注意系数唯一性。
步骤 3/4
目标：利用递推关系求通项
由递推关系，vn = A^n v0。若v0 = aξ1 + bξ2，则vn = a λ1^n ξ1 + b λ2^n ξ2。代入λ1=5，λ2=-1。
公式：vn = a λ1^n ξ1 + b λ2^n ξ2
提示：注意特征值的幂次与特征向量相乘。
步骤 4/4
目标：计算x100和y100
对于(1)，a=1，b=0，故vn = 5^n ξ1，所以x100=5^100，y100=2*5^100。对于(2)，a=1/2，b=1/2，故vn = (1/2)(5^n ξ1 + (-1)^n ξ2)，取第一分量得x100 = (1/2)(5^100 + (-1)^100)。
公式：x_n = (1/2)(5^n + (-1)^n) (对于(2))
提示：(-1)^100=1，注意符号。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第8题 返回列表 第1题 →