kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+a x_{2}-2 x_{3}=0, \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=1, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+(a+2) x_{3}=3\end{array}\right.$ 的系数矩阵为 $A$ ，自由项为 $b$ ，若 $A x=b$ 无解，$A^{\mathrm{T}} A x= \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解，则 $a=$ ）． （A）-1 （B） 1 （C）-3 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：系数矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&a&-2\\1&2&1\\2&3&a+2\end{bmatrix}$，增广矩阵$\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{bmatrix}1&a&-2&0\\1&2&1&1\\2&3&a+2&3\end{bmatrix}$。 步骤2：方程组无解时$r(\boldsymbol{A})
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出系数矩阵A和增广矩阵A̅
系数矩阵A = [[1, a, -2], [1, 2, 1], [2, 3, a+2]]，增广矩阵A̅ = [[1, a, -2, 0], [1, 2, 1, 1], [2, 3, a+2, 3]]。
提示：注意自由项b = [0, 1, 3]^T。
步骤 2/5
目标：分析无解条件
方程组无解当且仅当r(A) < r(A̅)。对增广矩阵进行初等行变换，寻找使秩不等的a值。
公式：r(A) < r(A̅)
提示：通常通过行阶梯形判断秩。
步骤 3/5
目标：计算增广矩阵的行阶梯形
对A̅进行行变换：
R2-R1: [1, a, -2, 0; 0, 2-a, 3, 1; 2, 3, a+2, 3]
R3-2R1: [1, a, -2, 0; 0, 2-a, 3, 1; 0, 3-2a, a+6, 3]
交换R2和R3（若需要），继续化简。最终得到行阶梯形，观察使第三行出现矛盾的情况。
提示：注意a的取值影响行变换中的系数。
步骤 4/5
目标：确定a=-1时无解
当a=-1时，增广矩阵化为：
[1, -1, -2, 0; 0, 3, 3, 1; 0, 0, 0, 2]，r(A)=2，r(A̅)=3，无解。
提示：验证其他选项是否满足无解。
步骤 5/5
目标：验证A^T A x = A^T b有解
当a=-1时，计算A^T A和A^T b，并判断方程组是否相容。由于A^T A是3×3矩阵，且A的列向量线性相关，但A^T A可逆？实际上，r(A)=2，则A^T A也是秩2，但A^T b在A的列空间中，因此方程组有解。
公式：A^T A x = A^T b
提示：无解条件已确保a=-1，只需验证此时A^T A x = A^T b有解。
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