kaoyan1basic 线性代数 第4题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $2 \times 4$ 矩阵， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,2,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[0,-3,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}= \mathbf{0}$ 的基础解系是 $\boldsymbol{\beta}_{1}=[1,3,0,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[1,2,-1, a]^{\mathrm{T}}$ ． （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ； （2）如果 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解，求 $a$ 的值及所有非零公共解。

💡 答案解析

**答案**： （1）$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$（不唯一） （2）$a=1$，所有非零公共解为$k[1,3,0,2]^{\mathrm{T}}$，$k\neq0$ **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的基础解系，得$r(\boldsymbol{A})=2$，$\boldsymbol{A}$的行向量与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$正交，解得$\boldsymbol{A}$。 步骤2：公共解满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，联立基础解系得$a=1$，公共解为$\boldsymbol{\beta}_1$的倍数。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求矩阵A
由Ax=0的基础解系α1, α2，可知r(A)=2，且A的行向量与α1, α2正交。设A的行向量为a1, a2，则a1·α1=0, a1·α2=0, a2·α1=0, a2·α2=0。解齐次线性方程组得到行向量，从而得到A。
公式：α1=[1,1,2,1]^T, α2=[0,-3,1,0]^T
提示：A不唯一，可取行向量为(1,0,0,-1)和(0,1,0,3)和(0,0,1,-1)的转置。
步骤 2/2
目标：求a的值及所有非零公共解
公共解满足Ax=0和Bx=0，即同时可由α1,α2和β1,β2线性表示。设公共解为x=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2，则存在不全为零的系数使得线性组合相等。将β1,β2代入，比较系数得关于a的方程，解得a=1。此时β1可由α1,α2线性表示，故所有非零公共解为β1的倍数。
公式：β1=[1,3,0,2]^T, β2=[1,2,-1,a]^T
提示：公共解非零时，系数不全为零。

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