kaoyan1basic 线性代数 第5题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列说法中，正确的是 ． （A）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 只有零解 （B）$\left[\begin{array}{cc}A B & B \\ C A B & O\end{array}\right] x=0$ 只有零解 （C）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=\mathbf{0}$ 同解 （D）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C A B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] x=0$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C B} \\ \boldsymbol{A B} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 同解

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：选项D中两矩阵可通过初等行变换互化，故同解。 步骤2：其他选项不满足同解条件。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：分析选项D中两个矩阵的关系
考虑矩阵 [AB, B; CAB, O] 和 [O, CB; AB, B]。将第一个矩阵的第1行乘以C加到第2行，得到 [AB, B; 0, CB]；再交换行得到 [0, CB; AB, B]。因此两个矩阵可通过初等行变换互化，故对应的齐次线性方程组同解。
提示：初等行变换不改变方程组的解。
步骤 2/2
目标：判断其他选项的错误性
选项A和B中矩阵可能奇异，不一定只有零解；选项C中两个矩阵的秩可能不同，故不一定同解。
提示：反例法：取A=O, B=I, C=O可验证。

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