kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．如图所示有三张平面，其中有两张平面平行，第三张平面与它们相交，其方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+ a_{i 3} z=d_{i}(i=1,2,3)$ 组成的方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 $\boldsymbol{A}$ 和 $\overline{\boldsymbol{A}}$ ，则 ． （A）$r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ （B）$r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ （C）$r(\boldsymbol{A})=1, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ （D）$r(\boldsymbol{A})=1, r(\overline{\boldsymbol{A}})=1$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：两平面平行，则系数成比例但常数项不成比例，故$r(\boldsymbol{A})=2$，$r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定系数矩阵的秩
由于有两张平面平行，它们的法向量共线，即系数成比例，但常数项不成比例，因此这两张平面方程对应的行向量线性相关，但增广矩阵中常数项部分不成比例，导致增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1。第三张平面与它们相交，其法向量与平行平面的法向量不共线，因此系数矩阵中至少有两个线性无关的行向量，故系数矩阵的秩为2。
公式：r(A)=2
提示：平行平面意味着系数成比例，但常数项不成比例，所以增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1。
步骤 2/2
目标：确定增广矩阵的秩
由于两张平行平面的常数项不成比例，而第三张平面与它们相交，其常数项与平行平面的常数项无特殊关系，因此增广矩阵的秩为3。
公式：r(\overline{A})=3
提示：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1，因为平行平面导致矛盾方程。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。