kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{\alpha}_{i}=\left[a_{i}, b_{i}, c_{i}\right]^{\mathrm{T}}(i=1,2,3)$ 均为非零列向量，且直线 $\displaystyle \frac{x-a_{1}}{a_{2}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}}$ 过点 $\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right)$ ，则可能是三个平面 $\pi_{i}: \boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=1(i=1,2,3)$ 的位置关系的所有序号是（ ）。
（1）
（2）
（3）
（4）
（A）（1）（3） （B）（2）（3） （C）（2）（4） （D）（1）（3）（4）
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由直线过点得$\boldsymbol{\alpha}_3$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性表示，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性无关。 步骤2：三个平面方程系数矩阵秩为2，增广矩阵秩可能为2或3，对应位置关系（2）和（4）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解直线过点的条件
直线过点 (a3,b3,c3)，代入直线方程得 (a3-a1)/a2 = (b3-b1)/b2 = (c3-c1)/c2，即存在常数 k 使得 α3 - α1 = k α2，故 α3 可由 α1, α2 线性表示。
公式：α3 = α1 + k α2
提示：注意直线方向向量为 (a2,b2,c2)，点 (a1,b1,c1) 在直线上。
步骤 2/4
目标：分析向量组的线性相关性
由于 α1, α2, α3 均为非零列向量，且 α3 可由 α1, α2 线性表示，但 α1, α2 不一定线性相关。实际上，直线方程要求 a2,b2,c2 不全为零，故 α2 ≠ 0，但 α1 与 α2 可能共线也可能不共线。然而，由直线过点条件，α1, α2 线性无关（否则直线退化为点或不存在），故 r(α1,α2)=2。
提示：非零向量且方向向量非零，通常假设 α1, α2 线性无关。
步骤 3/4
目标：确定系数矩阵和增广矩阵的秩
三个平面方程 πi: αi^T [x,y,z]^T = 1，系数矩阵 A = [α1, α2, α3]^T（3×3），增广矩阵 B = [A | (1,1,1)^T]。由步骤1，α3 是 α1, α2 的线性组合，故 r(A) = r(α1,α2) = 2。增广矩阵的秩可能为2或3，取决于常数项是否满足线性关系。
公式：r(A)=2，r(B)=2 或 3
提示：常数项向量 (1,1,1) 与 α1, α2, α3 的关系决定增广矩阵秩。
步骤 4/4
目标：判断平面位置关系
若 r(B)=2，则三个平面交于一条直线（情况(2)）；若 r(B)=3，则三个平面两两相交，但无公共交点，形成三棱柱（情况(4)）。不可能出现平行或重合（情况(1)(3)），因为系数矩阵秩为2，至少有两个平面不平行。
提示：注意平面位置关系与秩的对应：r(A)=2, r(B)=2 交于直线；r(A)=2, r(B)=3 两两相交无公共点。
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