kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ a\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}\right]$ ． （1）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 能同时由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？若能表示，写出其表示式； （2）$a, b$ 为何值时，矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解？若有解，求出其全部解。
💡 答案解析
**答案**： （1）$a=3,b=1$时，$\boldsymbol{\beta}_1=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1$ （2）$a=3,b=1$时，$\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}1&1\\-1&0\\0&0\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$，$k$为任意常数 **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示当且仅当$r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{\beta}_1])=r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{\beta}_2])$，解得$a=3,b=1$。 步骤2：矩阵方程有解时$r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}])$，通解为特解加齐次解。 **难度**：★★★☆☆