kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,1,0,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[1,-2,0,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0,0,1,-1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[1,-2,3,-2$, $0]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组
$$ $\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \tag{*}\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0 $\end{array}\right.$ $$
的解向量，问 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是否构成方程组（＊）的基础解系，若能，说明理由，若不能，请增或减向量，使之成为基础解系。
💡 答案解析
**答案**：不能，需增加$\boldsymbol{\alpha}_5=[0,0,0,0,1]^{\mathrm{T}}$，取$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$为基础解系 **解析**： 步骤1：方程组系数矩阵秩为2，基础解系含3个向量。 步骤2：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关，最大无关组含2个向量，需增加一个与它们线性无关的解向量。 **难度**：★★★☆☆