kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k[1,2,-3]^{\mathrm{T}}+[2,-1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$是任意常数，又设 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，求方程组 $B \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解。
## 第6章 二次型
💡 答案解析
**答案**：通解为$k[1,2,-3,0]^{\mathrm{T}}+[2,-1,1,0]^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数 **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$的通解知$\boldsymbol{\beta}$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，且$r(\boldsymbol{A})=2$。 步骤2：$\boldsymbol{B}$的列向量组秩为3，$\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}$的解对应$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$的解加上零分量。 **难度**：★★★☆☆