kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶正定矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 合同的充分必要条件为 ） （A）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 只有零解 （B）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解 （C）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解 （D）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$为实对称矩阵，与$\boldsymbol{E}$合同当且仅当$\boldsymbol{C}$正定。 步骤2：$\boldsymbol{C}$正定当且仅当$\boldsymbol{B}$列满秩，即$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$只有零解。 **难度**：★★☆☆☆