kaoyan1basic 线性代数 第1题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 不可逆，且元素 $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数，则方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 ． （A）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ （B）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （C）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{3}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （D）$k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}+k_{3} \alpha_{4}$

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：由矩阵$\boldsymbol{A}$不可逆且$A_{12}\neq0$，知$r(\boldsymbol{A})=3$，且$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关。 步骤2：$\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的通解由$\boldsymbol{A}$的列向量组中与$A_{12}$对应的非主元列构成，即$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$的线性组合。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定矩阵A的秩
由于A不可逆，故|A|=0，r(A)<4。又A_{12}≠0，说明存在3阶子式非零，因此r(A)=3。
提示：不可逆矩阵的秩小于阶数；代数余子式非零表明存在非零的3阶子式。
步骤 2/4
目标：分析列向量组的线性相关性
由r(A)=3，且A_{12}≠0，可知A的第1列α1可由其余列线性表示，而α2,α3,α4线性无关。
提示：代数余子式A_{12}对应元素a_{12}，其所在列是第2列，但A_{12}是去掉第1行第2列后的子式，与第1列相关。
步骤 3/4
目标：确定A*的秩
对于n阶矩阵，若r(A)=n-1，则r(A*)=1。此处n=4，r(A)=3，故r(A*)=1。
公式：r(A*) = 1 当 r(A)=n-1
提示：A*的秩与A的秩的关系：r(A*)=n 若 r(A)=n；r(A*)=1 若 r(A)=n-1；r(A*)=0 若 r(A)
步骤 4/4
目标：求解A*x=0的通解形式
由于r(A*)=1，方程组A*x=0的基础解系含有3个线性无关的解向量。又A*A=|A|I=0，故A的列向量都是A*x=0的解。由步骤2知α2,α3,α4线性无关，且α1可由它们线性表示，因此α2,α3,α4构成基础解系。通解为k1α2+k2α3+k3α4。
提示：A的列向量满足A*A=0，故每个列向量都是A*x=0的解。

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