kaoyan1basic 线性代数 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $A$ 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}$ ，$\xi_{3}$ ，令 $\beta=\xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 。证明： （1） $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量； （2）向量组 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\beta}$ 线性无关．
## 第5章 线性方程组
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**：（1）步骤1：反证法。若$\boldsymbol{\beta}$是$\boldsymbol{A}$的特征向量，设$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\lambda\boldsymbol{\beta}$，则$\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2+\lambda_3\xi_3=\lambda(\xi_1+\xi_2+\xi_3)$，即$(\lambda_1-\lambda)\xi_1+(\lambda_2-\lambda)\xi_2+(\lambda_3-\lambda)\xi_3=0$。 步骤2：由于$\xi_1,\xi_2,\xi_3$线性无关，故$\lambda_1-\lambda=\lambda_2-\lambda=\lambda_3-\lambda=0$，得$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3$，与特征值互异矛盾，故$\boldsymbol{\beta}$不是特征向量。 （2）步骤1：设$k_1\boldsymbol{\beta}+k_2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}+k_3\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\beta}=0$，代入$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2+\lambda_3\xi_3$，$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\beta}=\lambda_1^2\xi_1+\lambda_2^2\xi_2+\lambda_3^2\xi_3$。 步骤2：整理得$(k_1+k_2\lambda_1+k_3\lambda_1^2)\xi_1+(k_1+k_2\lambda_2+k_3\lambda_2^2)\xi_2+(k_1+k_2\lambda_3+k_3\lambda_3^2)\xi_3=0$。 步骤3：由$\xi_1,\xi_2,\xi_3$线性无关，得$\begin{cases} k_1+k_2\lambda_1+k_3\lambda_1^2=0 \\ k_1+k_2\lambda_2+k_3\lambda_2^2=0 \\ k_1+k_2\lambda_3+k_3\lambda_3^2=0 \end{cases}$，系数矩阵的行列式为范德蒙行列式，因$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$互异，行列式非零，故$k_1=k_2=k_3=0$，向量组线性无关。 **难度**：★★★★★