kaoyan1basic 线性代数 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（解答题） 21．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{0}$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，且 $|A|=1, A^{\circ}$ 是 $A$的伴随矩阵， $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}-a & 1 & -2 \\ -1 & b & -\frac{7}{2} \\ 2 & -3 & a\end{array}\right]$ ，求参数 $a, b$ 及 $\lambda_{0}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2,b=3,\lambda_0=1$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$且$|\boldsymbol{A}|=1$，得$\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{-1}$，故$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$。 步骤2：$\boldsymbol{A}\xi=\lambda_0\xi$，即$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}\xi=\frac{1}{\lambda_0}\xi$，故$\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}\xi=\frac{1}{\lambda_0}\xi$。代入$\xi=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$得$\displaystyle \begin{bmatrix} -a+1-2 \\ -1+b-\frac{7}{2} \\ 2-3+a \end{bmatrix}=\frac{1}{\lambda_0}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。 步骤3：由第一行和第三行得$-a-1=2-3+a$，解得$a=0$，代入得$\displaystyle \begin{bmatrix} -1 \\ b-\frac{9}{2} \\ -1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\lambda_0}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，故$\displaystyle -1=\frac{1}{\lambda_0}$，$\lambda_0=-1$，且$\displaystyle b-\frac{9}{2}=-1$，得$\displaystyle b=\frac{7}{2}$。 步骤4：验证$|\boldsymbol{A}|=1$，由$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}^{*})^{-1}$计算得$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$，$|\boldsymbol{A}|=1$成立，故$\displaystyle a=0,b=\frac{7}{2},\lambda_0=-1$。 **难度**：★★★★☆