kaoyan1basic 线性代数 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$ ． （1）计算 $A^{2}$ ，并求 $A^{-1}$ ； （2）验证 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，并求 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的特征值。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$，$\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}$；（2）$\boldsymbol{\alpha}$是特征向量，对应特征值为$-2$。 **解析**：（1）步骤1：$\displaystyle \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$，则$\displaystyle \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}-\frac{6}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\frac{9}{(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^2}\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}-\frac{6}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\frac{9}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}+\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$。 步骤2：计算得$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$，故$\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}$。 （2）步骤1：$\displaystyle \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{E}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}-3\boldsymbol{\alpha}=-2\boldsymbol{\alpha}$，故$\boldsymbol{\alpha}$是特征向量，对应特征值$-2$。 **难度**：★★★☆☆