kaoyan1basic 线性代数 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则以下结论中： （1） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ； （2） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} ;$ （3） $\boldsymbol{A}^{*} \sim \boldsymbol{B}^{*}$ ； （4）$A B \sim B A$ ．
正确结论的个数是（ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$，存在可逆$\boldsymbol{P}$使$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$，则$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}^{-1}$，故(1)正确。 步骤2：转置得$(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}})^{-1}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$，故(2)正确。 步骤3：$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，由$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$得$|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$，且$\boldsymbol{A}^{-1}\sim\boldsymbol{B}^{-1}$，故$\boldsymbol{A}^{*}\sim\boldsymbol{B}^{*}$，(3)正确。 步骤4：反例：$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix},\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$相似，但一般情况不一定成立，如$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$特征值相同但不相似，故(4)不一定正确。正确个数为3。 **难度**：★★★☆☆