kaoyan1basic 线性代数 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 是 2 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, f(x)=x^{2}-3 x+3$ ，则 $f(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：$f(\boldsymbol{A})$的特征值为$f(1)=1^2-3+3=1$，$f(2)=4-6+3=1$。 步骤2：$f(\boldsymbol{A})$为2阶矩阵，两个特征值均为$1$，且$\boldsymbol{A}$可对角化，故$f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{E}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算f(A)的特征值
由于A有特征值λ1=1, λ2=2，且f(x)=x^2-3x+3，则f(A)的特征值为f(1)=1^2-3*1+3=1，f(2)=2^2-3*2+3=1。
公式：若λ是A的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值
提示：注意特征多项式与矩阵函数的关系
步骤 2/2
目标：确定f(A)的具体形式
f(A)是2阶矩阵，两个特征值均为1，且A可对角化（不同特征值对应不同特征向量），因此f(A)相似于单位矩阵，即f(A)=E。
公式：若矩阵可对角化且特征值全为1，则矩阵为单位阵
提示：可对角化条件：不同特征值对应的特征向量线性无关
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