kaoyan1basic 线性代数 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其重数（ ． （A）必为 2 （B）可能为 2 或 3 （C）可能为 1 或 2 （D）可能为 1,2 或 3
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$r(\boldsymbol{A})=1$，则$\boldsymbol{A}$的零特征值至少$n-1=2$重，可能为$2$或$3$重（当$\boldsymbol{A}$为幂零矩阵时）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：确定零特征值重数的可能范围
由于矩阵A是3阶矩阵且秩为1，根据秩与特征值的关系，零特征值的代数重数至少为n - r(A) = 3 - 1 = 2。因此零特征值的重数至少为2，可能为2或3。当A为幂零矩阵时，零特征值的重数为3。
公式：代数重数 ≥ n - r(A)
提示：注意：秩为1的矩阵，零特征值的重数至少为2，但可能更高，例如零矩阵的秩为0，但这里秩为1，所以零特征值重数可以是2或3。
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