kaoyan1basic 线性代数 第16题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有三个特征值 $\displaystyle -1,2, \frac{1}{3}$ ，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ ，取 $P= \left[2 \xi_{2},-\xi_{1}, 3 \xi_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：$\boldsymbol{P}=[2\xi_2,-\xi_1,3\xi_3]$，则$\displaystyle \boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=[2\boldsymbol{A}\xi_2,-\boldsymbol{A}\xi_1,3\boldsymbol{A}\xi_3]=[2\cdot2\xi_2,-(-1)\xi_1,3\cdot\frac{1}{3}\xi_3]=[4\xi_2,\xi_1,\xi_3]$。 步骤2：$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^{-1}[4\xi_2,\xi_1,\xi_3]$，而$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{E}$，故$\boldsymbol{P}^{-1}[2\xi_2,-\xi_1,3\xi_3]=\boldsymbol{E}$，因此$\displaystyle \boldsymbol{P}^{-1}[4\xi_2,\xi_1,\xi_3]=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：计算AP
已知P=[2ξ2, -ξ1, 3ξ3]，则AP=A[2ξ2, -ξ1, 3ξ3]=[2Aξ2, -Aξ1, 3Aξ3]。由于Aξ2=2ξ2，Aξ1=-1·ξ1，Aξ3=(1/3)ξ3，代入得AP=[2·2ξ2, -(-1)ξ1, 3·(1/3)ξ3]=[4ξ2, ξ1, ξ3]。
公式：Aξ_i = λ_i ξ_i
提示：注意特征值对应的特征向量，以及矩阵乘法按列计算。
步骤 2/2
目标：利用P^{-1}P=E求P^{-1}AP
设P=[2ξ2, -ξ1, 3ξ3]，则P^{-1}P=E。将AP表示为P乘以某个矩阵：由于P的第一列是2ξ2，而AP的第一列是4ξ2=2·(2ξ2)，所以AP的第一列是P的第一列的2倍；AP的第二列是ξ1=(-1)·(-ξ1)，即P的第二列的-1倍；AP的第三列是ξ3=(1/3)·(3ξ3)，即P的第三列的1/3倍。因此AP=P·diag(2, -1, 1/3)，故P^{-1}AP=diag(2, -1, 1/3)。
公式：P^{-1}AP = diag(2, -1, 1/3)
提示：观察AP的列与P的列的关系，直接写出对角矩阵。

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