kaoyan1basic 线性代数 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & a & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & -a & -3\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，问 $a$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 不能相似于对角矩阵；$a$ 为何值时，$A$ 相似于对角矩阵，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\Lambda$ ．
💡 答案解析
**答案**：特征值为$\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=-1$；当$a\neq 2$时不能相似于对角矩阵；当$a=2$时可相似对角化，$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$。 **解析**：步骤1：计算特征多项式$|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}|=\begin{vmatrix} 3-\lambda & a & 4 \\ 2 & -1-\lambda & 2 \\ -2 & -a & -3-\lambda \end{vmatrix}=-(1-\lambda)(1+\lambda)^2$，特征值为$1,-1,-1$。 步骤2：当$a\neq 2$时，$r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=r\begin{bmatrix} 4 & a & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & -a & -2 \end{bmatrix}=2$，几何重数为$1$，不可对角化。 步骤3：当$a=2$时，$r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=r\begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & -2 \end{bmatrix}=1$，几何重数为$2$，可对角化。解$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=0$得基础解系$\xi_1=[1,0,-1]^{\mathrm{T}},\xi_2=[0,1,-1]^{\mathrm{T}}$；解$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=0$得$\xi_3=[-2,1,2]^{\mathrm{T}}$，取$\boldsymbol{P}=[\xi_1,\xi_2,\xi_3]$。 **难度**：★★★★☆