kaoyan1basic 线性代数 第14题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第14题（解答题） 14．（1）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda=1,2, \cdots, n$ 。证明 $\boldsymbol{A B}$ 和 $\boldsymbol{B A}$ 有相同的特征值且 $\boldsymbol{A B} \sim$ BA ； （2）对一般的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，是否必有 $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$ ，说明理由．

💡 答案解析

**答案**：（1）证明见解析；（2）不一定，反例见解析。 **解析**：（1）步骤1：若$\lambda\neq0$是$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$的特征值，则存在非零向量$\boldsymbol{x}$使$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，左乘$\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x})=\lambda(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x})$，且$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$（否则$\lambda=0$矛盾），故$\lambda$也是$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$的特征值。同理可证$\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$的非零特征值都是$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$的特征值。 步骤2：$\boldsymbol{A}$可逆，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\boldsymbol{A}^{-1}$，故$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$。 （2）不一定。反例：取$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，二者特征值相同但不相似（秩不同）。 **难度**：★★★★★

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明AB和BA有相同的非零特征值
设λ≠0是AB的特征值，则存在非零向量x使ABx=λx。左乘B得BA(Bx)=λ(Bx)。若Bx=0，则ABx=0，与λ≠0矛盾，故Bx≠0，因此λ也是BA的特征值。同理可证BA的非零特征值都是AB的特征值。
公式：ABx=λx ⇒ BA(Bx)=λ(Bx)
提示：注意非零特征值对应的特征向量经B作用后非零。
步骤 2/3
目标：证明AB与BA相似
由于A有特征值1,2,...,n，故A可逆。则AB = A(BA)A^{-1}，因此AB与BA相似。
公式：AB = A(BA)A^{-1}
提示：利用A可逆构造相似变换。
步骤 3/3
目标：判断一般情况是否必有AB~BA
不一定。反例：取A=[[0,1],[0,0]], B=[[0,0],[1,0]]，则AB=[[1,0],[0,0]], BA=[[0,0],[0,1]]。二者特征值均为1和0，但秩不同（AB秩1，BA秩1？实际上AB秩1，BA秩1，但二者不相似，因为AB的Jordan标准形为[[1,0],[0,0]]，BA为[[0,0],[0,1]]，不相似）。
提示：反例中A和B均为2阶幂零矩阵。

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