kaoyan1basic 线性代数 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，满足 $\displaystyle \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，可对角化。设$\lambda$为$\boldsymbol{A}$的特征值，则$\displaystyle \lambda+\lambda^2+\frac{1}{2}\lambda^3=0$，即$\displaystyle \lambda(1+\lambda+\frac{1}{2}\lambda^2)=0$，解得$\lambda=0$或$\lambda=-1\pm i$。 步骤2：实对称矩阵特征值为实数，故只能$\lambda=0$，即所有特征值为$0$，所以$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$，$r(\boldsymbol{A})=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用实对称矩阵可对角化，将矩阵方程转化为特征值方程
设λ为A的特征值，由于A是实对称矩阵，存在正交矩阵P使得P^{-1}AP=diag(λ1,λ2,λ3)。将方程A+A^2+1/2 A^3=O两边左乘P^{-1}、右乘P，得到diag(λi+λi^2+1/2 λi^3)=O，因此每个特征值满足λ+λ^2+1/2 λ^3=0。
公式：λ+λ^2+1/2 λ^3=0
提示：实对称矩阵一定可对角化，且特征值为实数。
步骤 2/3
目标：解特征值方程，结合实对称矩阵特征值为实数确定特征值
方程λ+λ^2+1/2 λ^3=0可化为λ(1+λ+1/2 λ^2)=0。解得λ=0或λ=-1±i。由于实对称矩阵的特征值必为实数，因此λ=-1±i舍去，故所有特征值均为0。
公式：λ(1+λ+1/2 λ^2)=0
提示：注意实对称矩阵特征值必为实数，排除复数解。
步骤 3/3
目标：由特征值全为零推出矩阵为零矩阵，从而秩为0
因为A是实对称矩阵，且所有特征值为0，所以A相似于零矩阵，即存在可逆矩阵P使得P^{-1}AP=O，故A=O。零矩阵的秩为0，因此r(A)=0。
提示：特征值全为零的实对称矩阵必为零矩阵。
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