kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且有二重特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ ．求 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值、特征向量，并求 $A^{n}$ 。
💡 答案解析
**答案**：特征值$\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=3$；对应于$\lambda=1$的特征向量为$k_1\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，对应于$\lambda=3$的特征向量为$k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$；$\displaystyle \boldsymbol{A}^n=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}+\frac{3^n-1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。 **解析**：步骤1：每行元素和为$3$，故$\boldsymbol{A}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，特征值$3$对应特征向量$\xi_3=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$。 步骤2：实对称矩阵不同特征值特征向量正交，设$\lambda=1$的特征向量为$\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,x_3]^{\mathrm{T}}$，与$\xi_3$正交得$x_1+x_2+x_3=0$，基础解系为$\xi_1=[-1,1,0]^{\mathrm{T}},\xi_2=[-1,0,1]^{\mathrm{T}}$。 步骤3：取$\boldsymbol{P}=[\xi_1,\xi_2,\xi_3]$，则$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{A}^n=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{bmatrix}\boldsymbol{P}^{-1}$，计算得结果。 **难度**：★★★★☆