kaoyan1basic 线性代数 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -a \\ 2 & a & -2 \\ -a & -1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，并讨论 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化．
💡 答案解析
**答案**：特征值为$\lambda_1=2,\lambda_2=-2,\lambda_3=2+a$；当$a\neq -4$时可相似对角化，当$a=-4$时不可相似对角化。 **解析**：步骤1：计算特征多项式$|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}|=\begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 & -a \\ 2 & a-\lambda & -2 \\ -a & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix}$，展开得$(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-2-a)=0$，特征值为$\lambda_1=2,\lambda_2=-2,\lambda_3=2+a$。 步骤2：若三个特征值互异，则可对角化。当$a\neq -4$时，$\lambda_3\neq -2$，特征值互异，可对角化。 步骤3：当$a=-4$时，特征值为$2,-2,-2$，二重特征值$-2$的几何重数：$r(\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E})=r\begin{bmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & -6 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{bmatrix}=2$，几何重数为$1$，不可对角化。 **难度**：★★★★☆