kaoyan1basic 线性代数 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 1 与 -1 是矩阵
$$ $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}$ 3 & 1 & -2 \\ -a & -1 & a \\ 4 & 1 & -3 $\end{array}\right]$ $$
的特征值，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，则 $a=$ ． （A）-1 （B） 0 （C） 1 （D） 2
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：将$\lambda=1$代入特征多项式$|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}|=0$，得$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -a & -2 & a \\ 4 & 1 & -4 \end{vmatrix}=0$，计算得$0=0$恒成立。 步骤2：将$\lambda=-1$代入，得$\begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ -a & 0 & a \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}=0$，解得$a=0$或$a=2$。 步骤3：当$a=0$时，$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$，特征值$1,-1,-1$，二重特征值$-1$的几何重数为$1$，不可对角化。 步骤4：当$a=2$时，$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$，特征值$1,-1,-1$，二重特征值$-1$的几何重数为$2$，可对角化，故$a=2$。 **难度**：★★★★☆