kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 为2阶方阵，可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}]$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], Q=[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}]$ ，则 $Q^{-1} \boldsymbol{A}^{*} Q=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，知$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2$，且$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$为对应特征向量。 步骤2：$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}$，$|\boldsymbol{A}|=2$，故$\boldsymbol{A}^{*}$的特征值为$\displaystyle \frac{2}{1}=2$和$\displaystyle \frac{2}{2}=1$，对应特征向量仍为$\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$。 步骤3：$\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}]$，则$\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆