kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-B$ ，求可逆矩阵 $P$ 、使 $P^{-1}(A B) P$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
💡 答案解析
**答案**：$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{bmatrix}$，对角矩阵$\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ **解析**： 步骤1：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$，即$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$，故$\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})^{-1}\boldsymbol{A}$。 步骤2：计算$\boldsymbol{A}$的特征值：$\lambda_1=-1$（二重），$\lambda_2=2$，对应特征向量分别为$(1,-1,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$和$(1,1,1)^\mathrm{T}$。 步骤3：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$与$\boldsymbol{A}$有相同特征向量，特征值为$\displaystyle \frac{\lambda}{1+\lambda}$，即$-1$（对应$\lambda=-1$）和$\displaystyle \frac{2}{3}$（对应$\lambda=2$），故$\boldsymbol{P}$取$\boldsymbol{A}$的特征向量，对角矩阵为$\displaystyle \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&\frac{2}{3}\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★★☆