kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $\boldsymbol{\alpha}=[1,2,3,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=[3,-2,-1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值和特征向量； （2）问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，说明理由。
💡 答案解析
**答案**： （1）特征值$0$（三重），特征向量：$k_1\begin{bmatrix}3\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}$； （2）不能，理由见解析 **解析**： （1）步骤1：$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}$，秩为1，故特征值为$0$（三重）和$\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}=3\cdot1+(-2)\cdot2+(-1)\cdot3+1\cdot4=3-4-3+4=0$，故全部特征值为$0$。 步骤2：特征向量为$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解，即$\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}=0$，通解为$k_1\begin{bmatrix}3\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}$。 （2）步骤1：$\boldsymbol{A}$的秩为1，但特征值0的几何重数为3，代数重数为4，故不能相似对角化。 **难度**：★★★☆☆