kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵，$P=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为 3 维列向量组且线性无关，若 $A\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}\right.$ ， $\left.\alpha_{2}, \alpha_{3}\right]=\left[3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{2}, \alpha_{1}\right]$. （1）证明 $\boldsymbol{A}$ 可相似于对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ； （2）若 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right]$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，并写出 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．
💡 答案解析
**答案**： （1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ **解析**： （1）步骤1：由条件$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1=3\boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1$。 步骤2：在基$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$下，$\boldsymbol{A}$的矩阵为$\begin{bmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{bmatrix}$，特征值为$2,1,3$，且可对角化。 （2）步骤1：由$\boldsymbol{P}$已知，可计算$\boldsymbol{A}$，再求特征向量得$\boldsymbol{C}$。 **难度**：★★★★☆