kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．已知 3 维列向量 $\xi$ 不是 $A^{2} x=0$ 的解，$A \xi$ 是 $A^{2} x=0$ 的解。记 $P \quad\left[\xi, A \xi, A^{2} \xi\right]$ 。 （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）A 能否相似对角化？若能，求出一个与之相似的对角矩阵，若不能，请说明理由。
💡 答案解析
**答案**： （1）证明见解析；（2）不能，理由见解析 **解析**： （1）步骤1：设$k_1\boldsymbol{\xi}+k_2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}+k_3\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$，左乘$\boldsymbol{A}^2$得$k_1\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$，由$\boldsymbol{\xi}$不是$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解知$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{0}$，故$k_1=0$。 步骤2：再左乘$\boldsymbol{A}$得$k_2\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$，故$k_2=0$，进而$k_3=0$，故$\boldsymbol{P}$可逆。 （2）步骤1：由条件$\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{0}$，故$\boldsymbol{A}$的Jordan标准形中有Jordan块$\boldsymbol{J}_3(0)$，不可对角化。 **难度**：★★★★☆