kaoyan1basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & 2 & -3\end{array}\right]$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，其中 $|\boldsymbol{A}|>0$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求 $A^{99}$ ．
💡 答案解析
**答案**： （1）$a=2$； （2）$\boldsymbol{A}^{99}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ **解析**： （1）步骤1：$\boldsymbol{A}^{*}$与$\boldsymbol{B}$相似，故特征值相同，$\boldsymbol{B}$的特征值为$-1$（二重）和$1$。 步骤2：$\boldsymbol{A}^{*}$的特征值也为$-1,-1,1$，计算$\boldsymbol{A}^{*}$的迹：$3+(-1)+(-3)=-1$，故$-1+(-1)+1=-1$成立。 步骤3：由$\boldsymbol{A}^{*}$的行列式$|\boldsymbol{A}^{*}|=(-1)\cdot(-1)\cdot1=1$，且$|\boldsymbol{A}^{*}|=|\boldsymbol{A}|^{3-1}=|\boldsymbol{A}|^2$，故$|\boldsymbol{A}|=1$（因$|\boldsymbol{A}|>0$）。 步骤4：由$\boldsymbol{A}^{*}$的秩为3，且特征值已知，可解得$a=2$。 （2）步骤1：由$\boldsymbol{A}^{*}$的特征值，$\boldsymbol{A}$的特征值为$\displaystyle \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}=1$（对应$\lambda=1$）和$-1$（对应$\lambda=-1$），故$\boldsymbol{A}$的特征值为$1$（二重）和$-1$。 步骤2：$\boldsymbol{A}$可对角化，$\boldsymbol{A}^{99}$的特征值为$1^{99}=1$和$(-1)^{99}=-1$，但由$\boldsymbol{A}$的Jordan形，$\boldsymbol{A}^{99}=\boldsymbol{I}$。 **难度**：★★★★☆