kaoyan1basic 线性代数 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+a y_{3}^{2}(a \neq 0)$ ，且 $\displaystyle \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{a}\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则对任意 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ ，有（ ）。 （A）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)>0$ （B）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \geqslant 0$ （C）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)<0$ ． （D）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \leqslant 0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\displaystyle Q^{-1}A^* Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac12&0\\0&0&\frac1a\end{pmatrix}$，知$A^*$的特征值为$\displaystyle 1,\frac12,\frac1a$。 步骤2：$A$的特征值$\lambda$满足$\displaystyle \lambda=\frac{|A|}{\mu}$，其中$\mu$为$A^*$特征值。由$g$知$A$特征值为$1,2,a$，则$|A|=2a$，$A^*$特征值为$\displaystyle \frac{2a}{1}=2a,\frac{2a}{2}=a,\frac{2a}{a}=2$。 步骤3：对比得$\displaystyle 2a=1,a=\frac12,2=2$，故$\displaystyle a=\frac12$，$A$特征值$\displaystyle 1,2,\frac12$全正，$f>0$。 **难度**：★★★★☆