kaoyan1basic 线性代数 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：二次型矩阵为 $$A=\begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}.$$ 步骤2：正定充要条件为各阶顺序主子式大于0：一阶$1>0$；二阶$\begin{vmatrix}1&a\\a&1\end{vmatrix}=1-a^2>0$，得$-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出二次型对应的矩阵
二次型 f(x1,x2,x3) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2a x1x2 + 2a x1x3 + 2a x2x3，对应的矩阵 A 为对称矩阵，主对角线元素为1，非主对角线元素为 a。
公式：A = [[1, a, a], [a, 1, a], [a, a, 1]]
提示：注意二次型中交叉项系数为 2a，矩阵中对应位置应取 a。
步骤 2/3
目标：应用正定的充要条件：各阶顺序主子式大于0
一阶顺序主子式 Δ1 = 1 > 0 恒成立。二阶顺序主子式 Δ2 = det([[1, a], [a, 1]]) = 1 - a^2 > 0，解得 -1 < a < 1。三阶顺序主子式 Δ3 = det(A) = (1 - a)^2 (1 + 2a) > 0，由于 (1 - a)^2 ≥ 0，需 1 + 2a > 0 且 a ≠ 1，即 a > -1/2 且 a ≠ 1。
公式：Δ2 = 1 - a^2 > 0; Δ3 = (1 - a)^2 (1 + 2a) > 0
提示：计算三阶行列式时，可利用行和相等或特征值方法简化。
步骤 3/3
目标：综合不等式求交集
由 Δ2 得 -1 < a < 1，由 Δ3 得 a > -1/2 且 a ≠ 1。取交集得 -1/2 < a < 1。
提示：注意 a=1 时 Δ3=0，不满足正定。
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