kaoyan1basic 线性代数 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $B$ 是 3 阶矩阵，齐次线性方程组 $B x=0$ 的解空间的维数为 $2, A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
## 第4章 矩阵的秩
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由$AB=O$知$B$的列向量是$Ax=0$的解，故$r(B)\leq n-r(A)$，即$3-r(A)\geq r(B)$。 步骤2：$Bx=0$解空间维数为2，故$r(B)=3-2=1$。 步骤3：代入得$3-r(A)\geq1$，即$r(A)\leq2$。又$A$非零，$r(A)\geq1$。 步骤4：若$r(A)=1$，则$n-r(A)=2$，$B$的列向量张成的空间维数$\leq2$，但$r(B)=1$，可能成立；若$r(A)=2$，则$n-r(A)=1$，而$r(B)=1$，$B$的列向量恰好构成$Ax=0$的一个基础解系，也成立。需进一步判断。 步骤5：计算$A$的行列式$|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & -2 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix}=1\cdot(a\cdot1-3\cdot(-1))-2\cdot(4\cdot1-3\cdot3)+(-2)\cdot(4\cdot(-1)-a\cdot3)= (a+3)-2\cdot(4-9)-2\cdot(-4-3a)=a+3+10+8+6a=7a+21=7(a+3)$。 步骤6：若$r(A)=2$，则$|A|=0$，得$a=-3$。此时$A$的前两行线性无关，第三行可由前两行表示，$r(A)=2$。此时$Ax=0$解空间维数为$3-2=1$。若$r(A)=1$，则$A$的所有行成比例，但$A$的第一行和第三行不成比例，故$r(A)\neq1$。因此$r(A)=2$，解空间维数为1。 **难度**：★★★☆☆