kaoyan1basic 线性代数 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设平面 $\pi_{1}: x+a y=a, \pi_{2}: a x+z=1, \pi_{3}: a y+z=1$ ，已知这三个平面没有公共交点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-1$ **解析**：步骤1：三个平面无公共交点，即方程组 $$ \begin{cases} x+ay=a \\ ax+z=1 \\ ay+z=1 \end{cases} $$ 无解。 步骤2：系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & a & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 0 & a & 1\end{pmatrix}$，增广矩阵$\overline{A}=\begin{pmatrix}1 & a & 0 & a \\ a & 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & 1\end{pmatrix}$。 步骤3：计算$|A|=\begin{vmatrix}1 & a & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 0 & a & 1\end{vmatrix}=1\cdot(0\cdot1-1\cdot a)-a\cdot(a\cdot1-1\cdot0)+0= -a - a^2 = -a(1+a)$。 步骤4：若$|A|\neq0$，方程组有唯一解，与无公共交点矛盾，故$|A|=0$，得$a=0$或$a=-1$。 步骤5：当$a=0$时，方程组为$\begin{cases}x=0 \\ z=1 \\ 0=1\end{cases}$，无解；当$a=-1$时，方程组为$\begin{cases}x-y=-1 \\ -x+z=1 \\ -y+z=1\end{cases}$，增广矩阵化为$\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，有无穷多解，有公共交点。故只有$a=0$时无公共交点。 **难度**：★★★☆☆