kaoyan1basic 线性代数 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设齐次线性方程组
$$ $\text { (I) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0 $\end{array}\right.$ $$
在线性方程组（I）的基础上增添一个方程 $a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0$ ，得
$$ $\text { (II) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0, \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0, \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0 . $\end{array}\right.$ $$
问 $a, b, c, d$ 满足什么条件时，方程组（I），（II）是同解方程组？并求出此时方程组（II）的通解．
💡 答案解析
**答案**：当$a,b,c,d$满足$(a,b,c,d)=k(1,-1,3,5)$（$k$为任意非零常数）时，方程组（I）与（II）同解；此时方程组（II）的通解为$k_1(-3,1,1,0)^T+k_2(-5,-2,0,1)^T$，$k_1,k_2$为任意常数。 **解析**：步骤1：对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & -5 & -3 \\ 0 & -1 & -5 & -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 得$r(I)=3$，基础解系为$\xi=(-3,1,1,0)^T$和$\eta=(-5,-2,0,1)^T$，通解为$k_1\xi+k_2\eta$。 步骤2：方程组(I)与(II)同解当且仅当新增方程是(I)的线性组合，即$(a,b,c,d)$可由(I)的系数行向量线性表示。由(I)系数矩阵行最简形，其行向量组的一个极大无关组为$(1,0,3,5)$和$(0,1,5,3)$和$(0,0,0,1)$，故$(a,b,c,d)=k(1,-1,3,5)$。 步骤3：此时(II)的通解与(I)相同，为$k_1(-3,1,1,0)^T+k_2(-5,-2,0,1)^T$。 **难度**：★★★☆☆