kaoyan1basic 线性代数 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，$e=[1,1, \cdots, 1]^{\mathrm{T}}$ 。若方程组 $A y=e$ 有解，则对于（I） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 （II）$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0, \\ \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0,\end{array}\right.$ 说法正确的是（ ）。 （A）（I）的解都是（II）的解，但（II）的解未必是（I）的解 （B）（II）的解都是（I）的解，但（I）的解未必是（II）的解 （C）（I）的解不是（II）的解，且（II）的解也不是（I）的解 （D）（I）的解都是（II）的解，且（II）的解也都是（I）的解
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：方程组$Ay=e$有解，则$e$可由$A$的列向量线性表示，即$e\in\mathrm{Col}(A)$。 步骤2：（I）$A^{\mathrm{T}}x=0$的解空间是$\mathrm{Col}(A)$的正交补，即与$A$的每一列正交。 步骤3：（II）$\begin{cases}A^{\mathrm{T}}x=0\\ e^{\mathrm{T}}x=0\end{cases}$的解是同时与$A$的每一列及$e$正交的向量。 步骤4：由于$e\in\mathrm{Col}(A)$，故若$x$与$A$的每一列正交，则必与$e$正交（因为$e$是列向量的线性组合），因此（I）的解自动满足$e^{\mathrm{T}}x=0$，即（I）的解都是（II）的解。 步骤5：反之，（II）的解满足$A^{\mathrm{T}}x=0$，故也是（I）的解。因此（I）与（II）同解，选D。 **难度**：★★★☆☆