kaoyan1basic 线性代数 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{E}$ ，则必有（ ）。 （A）$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=2$ （C）$[r(\boldsymbol{A})-1][r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})-2]=0$ （D）$[r(A)-1][r(A-E)-1]=0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$A^2=A$知$A$是幂等矩阵，其特征值只能是0或1。 步骤2：$A\neq E$且$A\neq O$（非零矩阵），故$A$至少有一个特征值0和一个特征值1。 步骤3：设$r(A)=r$，则特征值1的代数重数为$r$，特征值0的代数重数为$3-r$。 步骤4：$A-E$的特征值为$-1$（$r$重）和$0$（$3-r$重），故$r(A-E)=3-r$。 步骤5：代入选项验证：$[r(A)-1][r(A-E)-1]=(r-1)[(3-r)-1]=(r-1)(2-r)$。当$r=1$或$r=2$时乘积为0，而$r$可能为1或2，故该式恒为0，正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A的性质
由A^2=A知A是幂等矩阵，其特征值只能是0或1。
公式：A^2 = A
提示：幂等矩阵的特征值只有0和1。
步骤 2/5
目标：确定特征值存在性
A≠E且A≠O（非零矩阵），故A至少有一个特征值0和一个特征值1。
提示：非零且非单位阵的幂等矩阵必有0和1特征值。
步骤 3/5
目标：建立秩与特征值的关系
设r(A)=r，则特征值1的代数重数为r，特征值0的代数重数为3-r。
公式：r(A) = 特征值1的个数
提示：幂等矩阵可对角化，秩等于非零特征值个数。
步骤 4/5
目标：计算A-E的秩
A-E的特征值为-1（r重）和0（3-r重），故r(A-E)=3-r。
公式：r(A-E) = 3 - r(A)
提示：A-E的秩等于非零特征值个数。
步骤 5/5
目标：验证选项
代入选项D：[r(A)-1][r(A-E)-1]=(r-1)[(3-r)-1]=(r-1)(2-r)。当r=1或r=2时乘积为0，而r可能为1或2，故该式恒为0，正确。
公式：(r-1)(2-r)=0
提示：r只能取1或2，乘积恒为0。
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