kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实矩阵，则下列结论不成立的是（ ）。 （A）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$ （B）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A B}^{\mathrm{T}}\right)$ （C）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$ （D）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：选项A：$r([A, AB])=r(A[E, B])\leq r(A)$，又$A$的列向量组可由$[A, AB]$的列向量组线性表示，故$r(A)\leq r([A, AB])$，所以相等，成立。 步骤2：选项B：$r([AB^T, AB^TB])=r(AB^T[E, B])=r(AB^T)$，成立。 步骤3：选项C：$r\begin{pmatrix}BA \\ B^TBA\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}B \\ B^TB\end{pmatrix}A\leq r(A)$，但右边是$r(AB^T)$，不一定相等。反例：取$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，则$BA=O$，$AB^T=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，左边秩为0，右边秩为1，不相等。 步骤4：选项D：$r\begin{pmatrix}A^TA \\ B^TA\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A^T \\ B^T\end{pmatrix}A=r(A)$（因为$A$列满秩时$r(A^TA)=r(A)$，一般情况也成立），成立。 **难度**：★★★★☆