kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（ ）． （A）$r_{1}=r_{2} \geqslant r_{3}$ （B）$r_{1}=r_{2} \leqslant r_{3}$ （C）$r_{1}=r_{3} \geqslant r_{2}$ （D）$r_{1}=r_{3} \leqslant r_{2}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：对第一个矩阵作初等变换：$\begin{pmatrix}O & A \\ A^T & E\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第2行块左乘}-A\text{加到第1行块}}\begin{pmatrix}-AA^T & O \\ A^T & E\end{pmatrix}$，秩为$r(-AA^T)+r(E)=r(A)+n$（因为$r(AA^T)=r(A)$），故$r_1=n+r(A)$。 步骤2：对第二个矩阵：$\begin{pmatrix}O & A^TA \\ A^T & E\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第2行块左乘}-A\text{加到第1行块}}\begin{pmatrix}-AA^TA & O \\ A^T & E\end{pmatrix}$，秩为$r(AA^TA)+n=r(A)+n$，故$r_2=n+r(A)=r_1$。 步骤3：对第三个矩阵：$\begin{pmatrix}A^T & E \\ A^TA A^T & A^TA\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第1行块左乘}-A^TA\text{加到第2行块}}\begin{pmatrix}A^T & E \\ O & A^TA-A^TA\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^T & E \\ O & O\end{pmatrix}$，秩为$r(A^T)+r(E)=r(A)+n$，故$r_3=n+r(A)=r_1$。 步骤4：因此$r_1=r_2=r_3$，选项A中$r_1=r_2\geq r_3$成立（等号成立）。 **难度**：★★★★☆