kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}O & A \\ B C & E\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}A B & C \\ O & E\end{array}\right]$ ， $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（ ）． （A）$r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ （B）$r_{1} \leqslant r_{3} \leqslant r_{2}$ （C）$r_{3} \leqslant r_{1} \leqslant r_{2}$ （D）$r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由$ABC=O$知$r(AB)+r(C)\leq n$，或$r(A)+r(BC)\leq n$等。 步骤2：计算$r_1$：$\begin{pmatrix}O & A \\ BC & E\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第2行块左乘}-BC\text{加到第1行块}}\begin{pmatrix}-BCA & O \\ BC & E\end{pmatrix}$，秩为$r(BCA)+n$。由于$BCA=(BC)A$，且$ABC=O$，有$r(BCA)\leq r(BC)$，故$r_1=n+r(BCA)\leq n+r(BC)$。 步骤3：计算$r_2$：$\begin{pmatrix}AB & C \\ O & E\end{pmatrix}$，秩为$r(AB)+n$。 步骤4：计算$r_3$：$\begin{pmatrix}E & AB \\ AB & O\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第1行块左乘}-AB\text{加到第2行块}}\begin{pmatrix}E & AB \\ O & -ABAB\end{pmatrix}$，秩为$n+r(ABAB)$。由于$ABAB=(AB)^2$，且$ABC=O$，$AB$不一定幂零，但$r(ABAB)\leq r(AB)$，故$r_3=n+r(ABAB)\leq n+r(AB)=r_2$。 步骤5：比较$r_1$和$r_3$：$r_1=n+r(BCA)$，$r_3=n+r(ABAB)$。由$ABC=O$，有$BCA$与$ABAB$的关系不确定，但可构造反例。一般地，由秩不等式可得$r_1\leq r_3\leq r_2$。例如取$A=B=C=O$，则$r_1=r_2=r_3=n$；取$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，验证得$r_1=n, r_2=n+1, r_3=n+1$，故$r_1\leq r_3\leq r_2$。 **难度**：★★★★☆