kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A B}) \leqslant r(\boldsymbol{B A})$ ，记 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A B} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{B C}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{B C} \\ \boldsymbol{A B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{B A} & \boldsymbol{B A C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（ ）。 （A）$r_{2} \leqslant r_{3} \leqslant r_{1}$ （B）$r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$ （C）$r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ （D）$r_{3} \leqslant r_{2} \leqslant r_{1}$
## 第5章 特征值与特征向量
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$r(AB)\leq r(BA)$，但一般$r(AB)=r(BA)$不一定成立，已知条件给出$r(AB)\leq r(BA)$。 步骤2：计算$r_1$：$\begin{pmatrix}O & AB \\ B & BC\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第2行块左乘}-A\text{加到第1行块}}\begin{pmatrix}-AB & O \\ B & BC\end{pmatrix}$，秩为$r(AB)+r(BC)$（因为$-AB$与$BC$的列空间关系？需谨慎）。更标准做法：$\begin{pmatrix}O & AB \\ B & BC\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O & A \\ E & O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B & BC \\ O & B\end{pmatrix}$，但不易直接。考虑初等变换：交换行和列得$\begin{pmatrix}B & BC \\ AB & O\end{pmatrix}=r_2$，故$r_1=r_2$。 步骤3：$r_2$：$\begin{pmatrix}B & BC \\ AB & O\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{将第1行块左乘}-A\text{加到第2行块}}\begin{pmatrix}B & BC \\ O & -ABC\end{pmatrix}$，秩为$r(B)+r(ABC)$。 步骤4：$r_3$：$\begin{pmatrix}BA & BAC \\ O & B\end{pmatrix}$，秩为$r(BA)+r(B)$。 步骤5：由$r(AB)\leq r(BA)$，且$r(ABC)\leq r(AB)$，$r(ABC)\leq r(BC)$，故$r(ABC)\leq r(AB)\leq r(BA)$。因此$r_2=r(B)+r(ABC)\leq r(B)+r(BA)=r_3$，即$r_2\leq r_3$。又$r_1=r_2$，故$r_1=r_2\leq r_3$。 **难度**：★★★★☆