kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|=-9$ ，其第 2 行元素为 $[1,1,2]$ ，第 3 行元素为 $[2,2,1]$ ，则 $A_{31}+ A_{32}-3 A_{33}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：-18 **解析**： 步骤1：$A_{31}+A_{32}-3A_{33}$等于将行列式第3行元素替换为$[1,1,-3]$后的行列式值。 步骤2：新行列式为$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$，第2行与第3行对应成比例（第2行乘以-1/2？实际观察：第2行$[1,1,2]$，第3行$[1,1,-3]$不成比例，需直接计算）。 步骤3：利用已知条件，原行列式第2行$[1,1,2]$，第3行$[2,2,1]$，且$|\boldsymbol{A}|=-9$。将第3行替换后，新行列式按第3行展开即为所求，但更简单：将原行列式第3行乘以-3加到第2行？不，直接计算：设原行列式第1行未知，但所求等于$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$，第2行减第3行得$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$，按第2行展开得$5 \times (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ 1 & 1 \end{array}\right| = -5(a_{11}-a_{12})$。但无法直接求。 步骤4：利用代数余子式性质，$A_{31}+A_{32}-3A_{33}$等于将原行列式第3行替换为$[1,1,-3]$后的值，而原行列式第3行为$[2,2,1]$，故新行列式=原行列式+第3行变化引起的改变。更直接：设$D=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|=-9$，则所求$D'=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$。将$D$的第3行乘以-1加到$D'$的第3行？不，直接计算$D'$与$D$的关系：$D'$的第3行是$[1,1,-3]$，$D$的第3行是$[2,2,1]$，则$D'$的第3行 = $\displaystyle -\frac{1}{2} \times$ 第2行？不，观察：$\displaystyle [1,1,-3] = \frac{1}{2}[2,2,1] - \frac{1}{2}[0,0,7]$？复杂。 步骤5：正确方法：所求$A_{31}+A_{32}-3A_{33}$等于行列式$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$，而原行列式$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|=-9$。将原行列式第2行乘以-1加到第3行得$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right|=-9$，再第3行乘以-1得$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right|=9$。所求行列式第3行为$[1,1,-3]$，与$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right|$的第3行比较，$[1,1,-3] = -[ -1,-1,3]$，但不成比例。 步骤6：直接计算：设$D=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|=-9$，则$D$中第2行与第3行线性相关？实际上第2行$[1,1,2]$，第3行$[2,2,1]$不成比例，但第1列与第2列相同，故$D$中第1列与第2列成比例？$a_{11}$与$a_{12}$不一定相等。 步骤7：利用代数余子式性质：$A_{31}+A_{32}-3A_{33} = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|$。将第2行乘以-1加到第3行得$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right| = -5 \times (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ 1 & 1 \end{array}\right| = -5(a_{11}-a_{12})$。 步骤8：由原行列式$-9 = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|$，第2行乘以-2加到第3行得$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right| = -3(a_{11}-a_{12})$，故$-3(a_{11}-a_{12}) = -9$，得$a_{11}-a_{12}=3$。 步骤9：代入得所求$= -5 \times 3 = -15$。 **难度**：★★★☆☆