kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的元素 $a_{i j}$ 均为实数，且 $a_{i j}$ 不全为 0 ．若
$$ a_{i j}=-A_{i j}(i, j=1,2,3), $$
其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ．
## 第3章 向量组
💡 答案解析
**答案**：-1 **解析**： 步骤1：由条件$a_{ij} = -A_{ij}$，两边乘以$a_{ij}$并求和得$\sum_{j=1}^3 a_{ij}^2 = -\sum_{j=1}^3 a_{ij}A_{ij} = -|A|$（对每个$i$）。 步骤2：取$i=1$，得$\sum_{j=1}^3 a_{1j}^2 = -|A|$。同理对$i=2,3$有相同等式，故$|A| \le 0$。 步骤3：又由行列式定义，$|A| = \sum_{j=1}^3 a_{1j}A_{1j} = -\sum_{j=1}^3 a_{1j}^2$，故$|A| = -(|A|)$？实际上$|A| = \sum a_{1j}A_{1j} = -\sum a_{1j}^2$，而$\sum a_{1j}^2 = -|A|$，代入得$|A| = -(-|A|) = |A|$，恒成立。 步骤4：利用$A^*$性质：$AA^* = |A|E$，而$A^* = (-A)$（因为$A_{ij} = -a_{ij}$，故$A^* = -A^T$？注意：$A_{ij}$是代数余子式，$A^*$的$(i,j)$元为$A_{ji}$，故$A^* = -A^T$。 步骤5：则$AA^* = A(-A^T) = -AA^T = |A|E$，两边取行列式得$(-1)^3|A||A^T| = |A|^3$，即$-|A|^2 = |A|^3$，故$|A|^2(|A|+1)=0$。 步骤6：若$|A|=0$，则$AA^T=0$，得$A=0$，与$a_{ij}$不全为0矛盾，故$|A|=-1$。 **难度**：★★★☆☆