kaoyan1basic 线性代数 第3题

**答案**：D **解析**： 步骤1：构造矩阵$[x_1,x_2,x_3]$，计算行列式： $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & k & -3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & k+6\end{array}\right|$，为$4\times3$矩阵，秩小于3当且仅当所有3阶子式为0。 步骤2：取前三行子式：$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & k & -3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right| = 1\cdot(k\cdot1 - (-3)(-1)) -1\cdot(2\cdot1 - (-3)\cdot2) + (-1)\cdot(2\cdot(-1) - k\cdot2) = (k-3) - (2+6) + (2-2k) = k-3-8+2-2k = -k-9$。 步骤3：令其为零得$k=-9$，但选项无此值。 步骤4：取第1,2,4行子式：$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & k & -3 \\ -4 & -4 & k+6\end{array}\right| = 1\cdot(k(k+6)-(-3)(-4)) -1\cdot(2(k+6)-(-3)(-4)) + (-1)\cdot(2(-4)-k(-4)) = (k^2+6k-12) - (2k+12-12) + (-8+4k) = k^2+6k-12-2k+4k-8 = k^2+8k-20 = (k+10)(k-2)$。 步骤5：令为零得$k=2$或$k=-10$。 步骤6：取第1,3,4行子式：$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & k+6\end{array}\right| = 1\cdot((-1)(k+6)-1\cdot(-4)) -1\cdot(2(k+6)-1\cdot(-4)) + (-1)\cdot(2(-4)-(-1)(-4)) = (-k-6+4) - (2k+12+4) + (-8-4) = -k-2-2k-16-12 = -3k-30 = -3(k+10)$。 步骤7：令为零得$k=-10$。 步骤8：取第2,3,4行子式：$\left|\begin{array}{ccc}2 & k & -3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & k+6\end{array}\right| = 2\cdot((-1)(k+6)-1\cdot(-4)) - k\cdot(2(k+6)-1\cdot(-4)) + (-3)\cdot(2(-4)-(-1)(-4)) = 2(-k-6+4) - k(2k+12+4) -3(-8-4) = 2(-k-2) - k(2k+16) -3(-12) = -2k-4 -2k^2-16k +36 = -2k^2-18k+32 = -2(k^2+9k-16)$。 步骤9：令为零得$k^2+9k-16=0$，解非整数。 步骤10：综合，当$k=2$或$k=-10$时，所有3阶子式为零？但$k=2$时，第1个子式为-11≠0，故秩为3。实际上需所有3阶子式均为0才相关，故令公共解：从第1个子式得$k=-9$，第2个得$k=2$或$-10$，无公共解，故对任意$k$，秩均为3，线性无关。 步骤11：但选项A说对任意常数$k$线性无关，正确。然而D说$k\neq3$且$k\neq-2$是充要条件，检验$k=3$时，第1个子式=-12≠0，无关；$k=-2$时，第1个子式=-7≠0，无关，故D错误。 步骤12：重新计算：可能题目中向量为4维，线性相关当且仅当矩阵秩<3，即所有3阶子式为0。解方程组得$k$无解，故恒无关，选A。 **难度**：★★★☆☆