kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且齐次线性方程组 $A x=0$ 有通解 $k_{1}[1,2,-2]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[2,1,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}$ 是任意常数。 （1）证明：对任意的一个 3 维列向量 $\beta$ ，向量 $A \beta$ 和 $\alpha$ 线性相关； （2）若 $\boldsymbol{\beta}=[3,6,-3]^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）见解析；（2）$A\beta=\begin{bmatrix}3\\3\\3\end{bmatrix}$ **解析**： （1）步骤1：$A$每行元素之和为3，即$A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，故$\alpha=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$是$A$的特征向量，对应特征值3。 步骤2：$Ax=0$的通解为$k_1[1,2,-2]^{\mathrm{T}}+k_2[2,1,2]^{\mathrm{T}}$，故$A$的零空间维数为2，$r(A)=1$。 步骤3：对任意3维列向量$\beta$，$A\beta$是$A$的列向量的线性组合，而$A$的列向量均与$\alpha$线性相关（因$r(A)=1$且$\alpha$是特征向量），故$A\beta$与$\alpha$线性相关。 （2）步骤1：$\beta=[3,6,-3]^{\mathrm{T}}=3[1,2,-1]^{\mathrm{T}}$，但$[1,2,-1]$不是零空间向量。由（1）知$A\beta=k\alpha$，求$k$。 步骤2：利用$A$每行和为3，但无法直接求$k$。由$A$的零空间基，设$A$的第一行，由$A[1,2,-2]^{\mathrm{T}}=0$和$A[2,1,2]^{\mathrm{T}}=0$，可设$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\a&b&c\\a&b&c\end{bmatrix}$（因$r(A)=1$且行和相等），由$A[1,2,-2]^{\mathrm{T}}=0$得$a+2b-2c=0$，由$A[2,1,2]^{\mathrm{T}}=0$得$2a+b+2c=0$，解得$a=-2c, b=2c$，取$c=1$，则$A=\begin{bmatrix}-2&2&1\\-2&2&1\\-2&2&1\end{bmatrix}$，验证行和为$1$，但题目行和为3，故乘以3得$A=\begin{bmatrix}-6&6&3\\-6&6&3\\-6&6&3\end{bmatrix}$。 步骤3：计算$A\beta=\begin{bmatrix}-6&6&3\\-6&6&3\\-6&6&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\6\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-18+36-9\\-18+36-9\\-18+36-9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9\\9\\9\end{bmatrix}=9\alpha$。 **难度**：★★★★☆