kaoyan1basic 线性代数 第8题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．已知线性方程组 $A x=k \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 有解，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -1\end{array}\right]$ ，刜 $k$ 等于（ ）。 （A） 1 （B）-1 （C） 2 （D）-2

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：方程组$Ax=k\beta_1+\beta_2$有解，则$k\beta_1+\beta_2$可由$A$的列向量组线性表示，即$r(A)=r([A, k\beta_1+\beta_2])$。 步骤2：计算$A$的秩：$A=\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&-2&1\\1&-1&-1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&-1&0\\0&-2&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，$r(A)=2$。 步骤3：增广矩阵$[A, k\beta_1+\beta_2]=\begin{bmatrix}1&1&-1&2k+1\\-1&-2&1&k+3\\1&-1&-1&3k-1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&-1&2k+1\\0&-1&0&3k+4\\0&-2&0&k-2\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&1&-1&2k+1\\0&1&0&-3k-4\\0&0&0&5k+10\end{bmatrix}$。 步骤4：有解则$5k+10=0$，得$k=-2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：判断方程组有解的条件
方程组 $Ax = k\beta_1 + \beta_2$ 有解当且仅当 $k\beta_1 + \beta_2$ 可由 $A$ 的列向量组线性表示，即 $r(A) = r([A, k\beta_1 + \beta_2])$。
提示：线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
步骤 2/4
目标：计算系数矩阵 $A$ 的秩
对 $A$ 进行初等行变换： $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\ -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1, r_3-r_1} \begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & -2 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。 因此 $r(A)=2$。
提示：行阶梯形矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩。
步骤 3/4
目标：计算增广矩阵 $[A, k\beta_1+\beta_2]$ 的秩
增广矩阵为 $\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2k+1\\ -1 & -2 & 1 & k+3\\ 1 & -1 & -1 & 3k-1\end{bmatrix}$。进行初等行变换： $\xrightarrow{r_2+r_1, r_3-r_1} \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2k+1\\ 0 & -1 & 0 & 3k+4\\ 0 & -2 & 0 & k-2\end{bmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2k+1\\ 0 & 1 & 0 & -3k-4\\ 0 & 0 & 0 & 5k+10\end{bmatrix}$。
提示：注意行变换过程中保持矩阵等价。
步骤 4/4
目标：由秩相等条件解出 $k$
由 $r(A)=2$ 且方程组有解，则 $r([A, k\beta_1+\beta_2])=2$，故最后一行 $5k+10=0$，解得 $k=-2$。
公式：5k+10=0
提示：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时，方程组有解。

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