kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，若非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解，则其线性无关解向量的个数为 ）． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$A$是3阶非零矩阵且$A^2=O$，则$r(A)=1$（因$r(A)+r(A)\leq3$，且$A\neq0$，故$r(A)=1$）。 步骤2：非齐次线性方程组$Ax=b$有解，则其解的结构为特解加上导出组$Ax=0$的基础解系。$Ax=0$的基础解系含$3-r(A)=2$个线性无关解向量。 步骤3：故$Ax=b$的线性无关解向量个数最多为$2+1=3$，但特解与基础解系线性无关，故线性无关解向量个数为3。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵A的秩
A是3阶非零矩阵且A^2=O，则r(A)+r(A)≤3，且A≠0，故r(A)=1。
公式：r(A)+r(A)≤n（当A^2=O时）
提示：注意非零条件排除r(A)=0。
步骤 2/3
目标：分析非齐次线性方程组解的结构
非齐次方程组Ax=b有解，其解为特解加上导出组Ax=0的通解。导出组的基础解系含n-r(A)=3-1=2个线性无关解向量。
公式：基础解系向量个数 = n - r(A)
提示：特解与基础解系线性无关。
步骤 3/3
目标：确定线性无关解向量的个数
Ax=b的线性无关解向量最多为特解与基础解系中所有向量，共1+2=3个，且它们线性无关。
提示：注意特解与基础解系线性无关。
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