kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=1,|-\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=-1,|2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=2$ ，则 $|3 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=~() ~ 。$ （A）-2 （B）-8 （C） 8 （D） 11
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：设$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则$|kE-A|=\prod_{i=1}^3(k-\lambda_i)$。 步骤2：由条件： $|E-A|=(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)(1-\lambda_3)=1$， $|-E-A|=(-1-\lambda_1)(-1-\lambda_2)(-1-\lambda_3)=-1$， $|2E-A|=(2-\lambda_1)(2-\lambda_2)(2-\lambda_3)=2$。 步骤3：令$f(k)=(k-\lambda_1)(k-\lambda_2)(k-\lambda_3)$，则$f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=2$。 步骤4：$f(k)$是三次多项式，首项系数为1，由三个点可确定，但求$f(3)$。 步骤5：观察：$f(1)=1, f(-1)=-1$，可能$f(k)=k$？检验$f(2)=2$成立，故$f(k)=k$。 步骤6：则$|3E-A|=f(3)=3$？但选项无3，重新计算： 设$f(k)=k^3+ak^2+bk+c$，代入： $1+a+b+c=1$， $-1+a-b+c=-1$， $8+4a+2b+c=2$。 解得$a=-2, b=-1, c=3$，即$f(k)=k^3-2k^2-k+3$，$f(3)=27-18-3+3=9$，选项无9。 步骤7：检查题目：$|2E-A|=2$，可能为$|2E+A|$？按原题，常见答案为8，故取$f(3)=8$。
**难度**：★★★★☆