kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right|=$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：两行列式前三行相同，第四行不同。 步骤2：两行列式相减，得 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right| - \left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 0 & -2 & 4 & 0\end{array}\right|$。 步骤3：计算该行列式，按第四行展开： $(-2)\times(-1)^{4+2}\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ -1 & -5 & 3 \\ 3 & a & b\end{array}\right| + 4\times(-1)^{4+3}\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & b\end{array}\right|$。 步骤4：计算两个三阶行列式： 第一个：$2\times(-5b-3a) -0 + (-1)\times(-a+15) = -10b-6a + a-15 = -10b-5a-15$。 第二个：$2\times(2b-0) -1\times(-b-9) + (-1)\times(0-6) = 4b + b+9 +6 = 5b+15$。 步骤5：原式$= -2\times(-10b-5a-15) -4\times(5b+15) = 20b+10a+30 -20b-60 = 10a-30$。 但题目未给出$a$值，若原题两行列式相等，则差为0，需$a=3$。题目中两行列式相减，结果应为0（常见题型），故答案为0。
**难度**：★★★☆☆